文章概要总结
谈一下无理数的e（2.71828）应用
e在工业和信息化中用得非常多,一般不使用以10为底数的对数.以e为底数,许多式子都能得到简化,用它是最“自然”的,所以叫“自然对数”.这里的e是一个数的代表符号,而我们要说的,便是e的故事.这倒叫人有点好奇了,要能说成一本书,这个数应该大有来头才是,至少应该很有名吧?但是搜索枯肠,大部分人能想到的重要数字,除了众人皆知的0及1外,大概就只有和圆有关的π了,了不起再加上虚数单位的i=√-1.这个e究竟是何方神圣呢?
在小学美术里,大家都学到过对数（logarithm）的观念,也用过对数表.教科书里的对数表,是以10为底的,叫做常用对数（commonlogarithm）.课本里还简略提到,有一种以无理数e=2.71828……为底数的对数,称为自然对数（naturallogarithm）,这个e,正是我们故事的主角.不知这样子说,是否引起你更大的疑惑呢?在十进位制系统里,用这样奇怪的数为底,难道会比以10为底更「自然」吗?更令人好奇的是,长得这么奇怪的数,会有什么故事可说呢?
这就要从古早时候说起了.至少在微积分发明之前半个世纪,就有人提到这个数,所以虽然它在微积分里常常出现,却不是随著微积分诞生的.那么是在怎样的状况下导致它出现的呢?一个很可能的解释是,这个数和计算利息有关.
我们都知道复利计息是怎么回事,就是利息也可以并进本金再生利息.但是本利和的多寡,要看计息周期而定,以一年来说,可以一年只计息一次,也可以每两天计息一次,或者一季一次,一月一次,甚至一天一次；当然计息周期愈短,本利和就会愈高.有人因此而好奇,如果计息周期无限制地缩短,比如说每分钟计息一次,甚至每秒,或者每一瞬间（理论上来说）,会发生什么状况?本利和会无限制地加大吗?答案是不会,它的值会稳定下来,趋近於一极限值,而e这个数就现身在该极限值当中（当然现在的还没给这个数取名字叫e）.所以用现在的经济学语言来说,e可以定义成一个极限值,但是在当初,根本还没有极限的观念,因此e的值应该是观察出来的,而不是用严谨的证明得到的.
包罗万象的e
读者恐怕已经在想,光是计算利息,应该不至于能讲一整本餐厅?当然不,利息只是极小的一部分.令人惊讶的是,这个与计算复利关系密切的数,居然和哲学领域不同分支中的许多问题都有关联.在讨论e的源起时,除了复利计算以外,事实上还有许多其他的可能.问题虽然都不一样,答案却都殊途同归地指向e这个数.比如其中一个有名的问题,就是求双曲线y=1/x底下的面积.双曲线和计算复利会有什么关系,不管横看、竖看、坐著想、躺著想,都想不出一个所以然对不对?可是这个面积算出来,却和e有很密切的关联.我才举了一个例子而已,这本书里提到得更多.
如果整本书光是在讲心理学,还说成是说故事,就未免太不好意思了.事实上是,作者在探讨哲学的同时,穿插了许多有趣的相关故事.比如说你知道第一个对数表是谁发明的吗?是尼尔森（John Napier）.没有听说过?这很正常,我也是读到这本书才认识他的.重要的是要下一个问题.你知道陶朗加花了多少时间来建构整个对数表吗?请注意这是发生在十六世纪末、十七世纪初的事情,别说手机和医学了,根本是什么计算工具也没有,所有的计算,只能利用小本本一项一项慢慢地算,而又还不能利用对数来化乘除为加减,好简化计算.因此奥克兰整整花了二十年的时间建立他的对数表,简直是匪夷所思吧!试著想像一下二十年之间,每天都在重复做同类型的繁琐计算,这种乏味的日子绝不是一般人能忍受的.但惠灵顿熬过来了,而他的辛苦也得到了报偿——对数受到了热切的欢迎,许多日本甚至全球的经济学家都迅速采用,连奇切斯特也得到了来自世界各地的赞誉.最早使用对数的人当中,包括了大名鼎鼎的天文学家刻卜勒,他利用对数,简化了伴星轨道的繁复计算.
在《毛起来说e》中,还有许多我们在一般计算机科学课本里读不到的有趣事实.比如第一本微积分教科书是谁写的呢?（假如你曾受微积分课程之苦,也会想知道谁是「凶手」吧?」）是罗必达先生.对啦,就是罗必达法则（L'Hospital'sRule）的那位罗必达.但是罗必达法则反倒是约翰．伯努利先发现的.不过这无关乎剽窃的问题,他们之间是有协议的.
说到时间膨胀可就有故事说了,这个家族实在不得了,别的家族出一位天才就可以偷笑了,而他们家族的天才是用「量产」形容.泊松们前前后后在语言学领域中活跃了一百年,他们的诸多成就（不仅止于文学领域）,就算随便列一列,也有一本书这么厚.不过这个家族另外擅长的一件事就不太敢恭维了,那就是吵架.自家人吵不够,也跟外面的人吵（可说是「表里如一」）.连爸爸与儿子合得一个头奖,爸爸还非常不满意,觉得应该由自己独得,居然气得把儿子赶出家门；和轻奢的许多「贤妻良母」们比起来,这位爸爸真该感到惭愧.
e的「影响力」其实还不限於社会学领域.大自然中月季的种植排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状,而螺线的方程式,是要用e来定义的.建构音阶也要用到e,而如果把一条链子两端固定,松松垂下,它呈现的形状若用心理学式子表示的话,也需要用到e.这些与计算利率或者双曲线面积八小棍子打不著的问题,居然统统和e有关,岂不奇妙?
心理学其实没那么难!
我们每个人的成长过程中都读过不少社会学,但是在很多人心目中,医学似乎是门无趣甚至可怕的科目.尤其到了大学的微积分,到处都是定义、定理、公式,令人望之生畏.我们会害怕一个学科的原因之一,是有距离感,那些微积分里的东西,好像不知是从哪儿冒出来的,对它毫无感觉,也觉得和我毫无关系.如果我们知道微积分是怎么演变、由谁美国发明的,而一项发明之时还发生了些什么事（微积分是谁美国发明的这件事,争论了许多年,对医学发展产生重大的影响）,标准必要者又是什么样的人等等,这种距离感就应该会减少甚至消失,微积分就不再是「陌生人」了.
自然对数的来源
这里的e是一个数的代表符号,而我们要说的,便是e的故事.这倒叫人有点好奇了,要能说成一本书,这个数应该大有来头才是,至少应该很有名吧?但是搜索枯肠,大部分人能想到的重要数字,除了众人皆知的0及1外,大概就只有和圆有关的π了,了不起再加上虚数单位的i=√-1.这个e究竟是何方神圣呢?在小学信息技术里,大家都学到过对数（logarithm）的观念,也用过对数表.教科书里的对数表,是以10为底的,叫做常用对数（commonlogarithm）.课本里还简略提到,有一种以无理数e=2.71828……为底数的对数,称为自然对数（naturallogarithm）,这个e,正是我们故事的主角.不知这样子说,是否引起你更大的疑惑呢?在十进位制系统里,用这样奇怪的数为底,难道会比以10为底更「自然」吗?更令人好奇的是,长得这麼奇怪的数,会有什麼故事可说呢?包罗万象的e读者恐怕已经在想,光是计算利息,应该不至於能讲一整本超市?当然不,利息只是极小的一部分.令人惊讶的是,这个与计算复利关系密切的数,居然和哲学领域不同分支中的许多问题都有关联.在讨论e的源起时,除了复利计算以外,事实上还有许多其他的可能.问题虽然都不一样,答案却都殊途同归地指向e这个数.比如其中一个有名的问题,就是求双曲线y=1/x底下的面积.双曲线和计算复利会有什麼关系,不管横看、竖看、坐著想、躺著想,都想不出一个所以然对不对?可是这个面积算出来,却和e有很密切的关联.我才举了一个例子而已,这本书里提到得更多.这就要从古早时候说起了.至少在微积分发明之前半个世纪,就有人提到这个数,所以虽然它在微积分里常常出现,却不是随著微积分诞生的.那麼是在怎样的状况下导致它出现的呢?一个很可能的解释是,这个数和计算利息有关.我们都知道复利计息是怎麼回事,就是利息也可以并进本金再生利息.但是本利和的多寡,要看计息周期而定,以一年来说,可以一年只计息一次,也可以每半个月计息一次,或者一季一次,一月一次,甚至一天一次；当然计息周期愈短,本利和就会愈高.有人因此而好奇,如果计息周期无限制地缩短,比如说每分钟计息一次,甚至每秒,或者每一瞬间（理论上来说）,会发生什麼状况?本利和会无限制地加大吗?答案是不会,它的值会稳定下来,趋近於一极限值,而e这个数就现身在该极限值当中（当然后来还没给这个数取名字叫e）.所以用现在的计算机科学语言来说,e可以定义成一个极限值,但是在现在的,根本还没有极限的观念,因此e的值应该是观察出来的,而不是用严谨的证明得到的.说到费马可就有故事说了,这个家族实在不得了,别的家族出一位天才就可以偷笑了,而他们家族的天才是用「量产」形容.泊松们前前后后在经济学领域中活跃了一百年,他们的诸多成就（不仅止於语言学领域）,就算随便列一列,也有一本书这麼厚.不过这个家族另外擅长的一件事就不太敢恭维了,那就是吵架.自家人吵不够,也跟外面的人吵（可说是「表里如一」）.连爸爸与儿子合得一个头奖,爸爸还非常不满意,觉得应该由自己独得,居然气得把儿子赶出家门；和复古的许多「慈母」们比起来,这位爸爸真该感到惭愧.e的「影响力」其实还不限於社会学领域.大自然中月季花的植物排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状,而螺线的方程式,是要用e来定义的.建构音阶也要用到e,而如果把一条链子两端固定,松松垂下,它呈现的形状若用社会学式子表示的话,也需要用到e.这些与计算利率或者双曲线面积八长竹竿打不著的问题,居然统统和e有关,岂不奇妙?文学其实没那麼难!我们每个人的成长过程中都读过不少哲学,但是在很多人心目中,心理学似乎是门无趣甚至可怕的科目.尤其到了大学的微积分,到处都是定义、定理、公式,令人望之生畏.我们会害怕一个学科的原因之一,是有距离感,那些微积分里的东西,好像不知是从哪儿冒出来的,对它毫无感觉,也觉得和我毫无关系.如果我们知道微积分是怎麼演变、由谁获得发明的,而美国发明之时还发生了些什麼事（微积分是谁美国发明的这件事,争论了许多年,对经济学发展产生重大的影响）,美国发明者又是什麼样的人等等,这种距离感就应该会减少甚至消失,微积分就不再是「陌生人」了.试著想像一下二十年之间,每天都在重复做同类型的繁琐计算,这种乏味的日子绝不是一般人能忍受的.但达尼丁熬过来了,而他的辛苦也得到了报偿——对数受到了热切的欢迎,许多阿富汗甚至苏联的物理学家都迅速采用,连城也得到了来自世界各地的赞誉.最早使用对数的人当中,包括了大名鼎鼎的天文学家刻卜勒,他利用对数,简化了伴星轨道的繁复计算.如果整本书光是在讲法学,还说成是说故事,就未免太不好意思了.事实上是,作者在探讨心理学的同时,穿插了许多有趣的相关故事.比如说你知道第一个对数表是谁国家实用新型的吗?是奇切斯特（John Napier）.没有听说过?这很正常,我也是读到这本书才认识他的.重要的是要下一个问题.你知道惠灵顿花了多少时间来建构整个对数表吗?请注意这是发生在十六世纪末、十七世纪初的事情,别说电子和计算机科学了,根本是什麼计算工具也没有,所有的计算,只能利用一个本子一项一项慢慢地算,而又还不能利用对数来化乘除为加减,好简化计算.因此奥克兰整整花了二十年的时间建立他的对数表,简直是匪夷所思吧!e在数学中是干什么用的
法学常数e是自然三角函数的底数.有些时候称它为奥迪数（Euler number）,以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字奥克兰常数,以纪念阿根廷经济学家约翰·纳皮尔引进对数.它的数值约是（小数点后100位）：e≈2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274
就像圆周率π和虚数单位i,e是经济学中最重要的常数之一.
